Упр.47 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основание пирамиды — ромб с диагоналями $$6\ \text{м}$$ и $$8\ \text{м}$$; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна $$1\ \text{м}$$. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба, $$M$$ и $$K$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $$O$$ на стороны $$AD$$ и $$CD$$ соответственно.

Так как $$ABCD$$ — ромб, то его диагонали пересекаются и делятся пополам:

$$AO=\frac{AC}{2}=4\text{ м}, \qquad OD=\frac{BD}{2}=3\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOD$$ найдем сторону ромба:

$$AD=\sqrt{AO^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ м}.$$

Площадь треугольника $$AOD$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{AOD}=\frac12 AO\cdot OD=\frac12 AD\cdot OM.$$

Отсюда

$$OM=\frac{AO\cdot OD}{AD}=\frac{4\cdot 3}{5}=2{,}4\text{ м}.$$

Высота пирамиды $$SO=1\text{ м}$$, поэтому в прямоугольном треугольнике $$SOM$$

$$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{1^2+2{,}4^2}=\sqrt{6{,}76}=2{,}6\text{ м}.$$

Аналогично $$SK=SM$$. Тогда боковая поверхность пирамиды равна

$$S_{\text{бок}}=2S_{SAD}+2S_{SDC}=2\cdot \frac12 AD\cdot SM+2\cdot \frac12 DC\cdot SK.$$