Упр.47 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Катеты прямоугольного треугольника равны $$7\ \text{м}$$ и $$24\ \text{м}$$. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол $$30^\circ$$ с плоскостью треугольника.

Пусть $$CD$$ — расстояние от вершины прямого угла $$C$$ до плоскости $$\alpha$$, а $$CE$$ — высота треугольника $$ABC$$, опущенная на гипотенузу $$AB$$. Тогда угол между прямой $$CE$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен $$30^\circ$$, значит $$\angle CED=30^\circ$$.

Найдём гипотенузу:

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25\text{ м}.$$

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac12 AC\cdot BC=\frac12 AB\cdot CE.$$

Отсюда

$$CE=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{24\cdot 7}{25}=\frac{168}{25}=6{,}72\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$CED$$:

$$CD=CE\sin\angle CED=6{,}72\cdot \sin 30^\circ=6{,}72\cdot \frac12=3{,}36\text{ м}.$$

Ответ: $$3{,}36\text{ м}$$.