Упр.47 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно $$1{,}1\ \text{м}$$, а до каждой из его сторон — $$6{,}1\ \text{м}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть $$S$$ — данная точка, $$ABC$$ — треугольник, а $$O$$ — центр вписанной в него окружности. Тогда расстояния от точки $$S$$ до сторон треугольника равны $$SA=SB=SC=6{,}1\text{ м}$$, а перпендикуляр из $$S$$ к плоскости треугольника проходит через точку $$O$$, поэтому $$SO=1{,}1\text{ м}$$.

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то $$OA$$ — радиус этой окружности, то есть $$r=OA$$. В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ по теореме Пифагора получаем:

$$OA=\sqrt{SA^2-SO^2}=\sqrt{6{,}1^2-1{,}1^2}=\sqrt{37{,}21-1{,}21}=\sqrt{36}=6.$$

Ответ: $$6\text{ м}$$.