Упр.46 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение равностороннего конуса. Оно представляет собой равносторонний треугольник $$\triangle ABC$$, у которого $$AB$$ — диаметр основания, а $$CH$$ — высота конуса.

Так как треугольник равносторонний, то его высота равна

$$CH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}.$$

Обозначим радиус основания конуса через $$R$$. Тогда

$$R=\frac{AB}{2}, \qquad l=AB,$$

где $$l$$ — образующая конуса.

Полная поверхность конуса равна сумме боковой и оснований:

$$ S_1=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}=\pi Rl+\pi R^2 =\pi\cdot \frac{AB}{2}\cdot AB+\pi\cdot \frac{AB^2}{4} =3\pi\cdot \frac{AB^2}{4}. $$

Теперь рассмотрим шар, построенный на высоте конуса как на диаметре. Его диаметр равен $$CH$$, значит радиус шара

$$r=\frac{CH}{2}=\frac{AB\sqrt{3}}{4}.$$

Тогда площадь поверхности шара:

$$ S_2=4\pi r^2 =4\pi\left(\frac{AB\sqrt{3}}{4}\right)^2 =4\pi\cdot \frac{3AB^2}{16} =3\pi\cdot \frac{AB^2}{4}. $$

Следовательно,