Упр.46 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

8.46. Полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение равностороннего конуса. Это равносторонний треугольник $$\triangle ABC$$, в котором $$AB=l$$, а высота $$CH$$ равна высоте конуса $$d$$.

Для равностороннего треугольника

$$CH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда высота конуса

$$d=\frac{AB\sqrt{3}}{2}.$$

Найдём полную поверхность конуса. Так как у равностороннего конуса $$R=\frac{AB}{2}$$ и $$l=AB$$, то

$$S_{\text{кон}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}} =\pi Rl+\pi R^2 =\pi\cdot \frac{AB}{2}\cdot AB+\pi\cdot \frac{AB^2}{4} =3\pi\cdot \frac{AB^2}{4}.$$

Теперь найдём поверхность шара, построенного на высоте конуса как на диаметре. Его радиус равен

$$r=\frac{d}{2}=\frac{AB\sqrt{3}}{4}.$$

Тогда площадь поверхности шара

$$S_{\text{шара}}=4\pi r^2 =4\pi\left(\frac{AB\sqrt{3}}{4}\right)^2 =4\pi\cdot \frac{AB^2\cdot 3}{16} =3\pi\cdot \frac{AB^2}{4}.$$

Следовательно,

$$S_{\text{кон}}=S_{\text{шара}}.$$