Упр.46 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

7-46. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны $$a$$ и $$b$$, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен $$\alpha$$. Найдите объём пирамиды.

Подробный ответ

Основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды — квадраты, поэтому

$$S_1=a^2,\qquad S_2=b^2.$$

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её ось и перпендикулярной ребру основания. В этом сечении получаем равнобедренную трапецию, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен $$\alpha$$.

Пусть $$H$$ — основание высоты боковой грани, тогда

$$AH=\frac{a}{2}-\frac{b}{2}=\frac{a-b}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BHA$$ имеем

$$\tg\alpha=\frac{BH}{AH},$$

откуда

$$h=BH=\frac{a-b}{2}\tg\alpha.$$

Теперь найдём объём усечённой пирамиды по формуле

$$V=\frac13h\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right).$$

Подставим найденные значения:

$$V=\frac13\cdot \frac{a-b}{2}\tg\alpha\cdot \left(a^2+ab+b^2\right) =\frac16(a-b)(a^2+ab+b^2)\tg\alpha.$$

Так как

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,$$