Упр.46 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны $$3\text{ см}$$ и $$7\text{ см}$$, а одна из диагоналей $$6\text{ см}$$; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна $$4\text{ см}$$. Найдите боковое ребро пирамиды.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$. Тогда $$O$$ — середина обеих диагоналей, значит $$BO=DO$$ и $$AO=CO$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOD$$. Так как $$BD=6$$ см, то

$$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 6=3\text{ см}.$$

Высота пирамиды $$SO=4$$ см, поэтому в прямоугольном треугольнике $$SOD$$ получаем

$$SD=\sqrt{SO^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{ см}.$$

Так как основание — параллелограмм со сторонами $$AB=3$$ см и $$AD=7$$ см, а диагональ $$BD=6$$ см, то по формуле для параллелограмма

$$AC^2=2AB^2+2AD^2-BD^2,$$

откуда

$$AC=\sqrt{2\cdot 3^2+2\cdot 7^2-6^2}=\sqrt{18+98-36}=\sqrt{80}.$$

Тогда

$$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{80}=\sqrt{20}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ имеем

$$SA=\sqrt{SO^2+AO^2}=\sqrt{4^2+20}=\sqrt{36}=6\text{ см}.$$

Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, то $$BC=AD=7$$ см, а по симметрии относительно точки $$O$$ получаем $$SB=SD$$ и $$SA=SC$$. Следовательно, боковые рёбра пирамиды равны $$5$$ см и $$6$$ см.

Ответ: $$5\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$.