Упр.46 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 46. Равнобедренные треугольники ABC и ABD с общим основанием AB лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен а. Найдите cos а, если:1) AB = 24 см, AC = 13 см, AD = 37 см, CD = 35 см;2) AB = 32 м, AC = 65 м, AD = 20 м, CD = 63 м.
Пусть $$E$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда в равнобедренных треугольниках $$ABC$$ и $$ABD$$ отрезки $$CE$$ и $$DE$$ являются медианами и высотами.
Следовательно, $$AE=\frac{1}{2}AB$$.
1) $$AB=24\text{ см},\ AC=13\text{ см},\ AD=37\text{ см},\ CD=35\text{ см}.$$
Тогда
$$AE=\frac{1}{2}\cdot 24=12\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ACE$$:
$$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AED$$:
$$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{37^2-12^2}=\sqrt{1369-144}=35\text{ см}.$$
В треугольнике $$CED$$ по теореме косинусов:
$$ \cos\alpha=\frac{CE^2+DE^2-CD^2}{2\cdot CE\cdot DE} =\frac{5^2+35^2-35^2}{2\cdot 5\cdot 35} =\frac{1}{14}. $$
2) $$AB=32\text{ м},\ AC=65\text{ м},\ AD=20\text{ м},\ CD=63\text{ м}.$$
Тогда
$$AE=\frac{1}{2}\cdot 32=16\text{ м}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ACE$$:
$$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{65^2-16^2}=\sqrt{4225-256}=63\text{ м}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AED$$:
$$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=12\text{ м}.$$
В треугольнике $$CED$$ по теореме косинусов:
$$ \cos\alpha=\frac{CE^2+DE^2-CD^2}{2\cdot CE\cdot DE} =\frac{63^2+12^2-63^2}{2\cdot 63\cdot 12} =\frac{2}{21}. $$
Ответ
$$1)\ \frac{1}{14};\qquad 2)\ \frac{2}{21}.$$