Упр.46 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Равнобедренные треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ с общим основанием $$AB$$ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен $$\alpha$$. Найдите $$\cos \alpha$$, если:
1) $$AB=24\text{ см}$$, $$AC=13\text{ см}$$, $$AD=37\text{ см}$$, $$CD=35\text{ см}$$;
2) $$AB=32\text{ м}$$, $$AC=65\text{ м}$$, $$AD=20\text{ м}$$, $$CD=63\text{ м}$$.
Пусть $$E$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда в равнобедренных треугольниках $$ABC$$ и $$ABD$$ отрезки $$CE$$ и $$DE$$ являются медианами и высотами.
1) $$AE=\frac12 AB=\frac12\cdot 24=12$$ см.
В прямоугольном треугольнике $$ACE$$:
$$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5$$ см.
В прямоугольном треугольнике $$AED$$:
$$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{37^2-12^2}=\sqrt{1369-144}=35$$ см.
В треугольнике $$CED$$ по теореме косинусов:
$$\cos\alpha=\frac{CE^2+DE^2-CD^2}{2\cdot CE\cdot DE} =\frac{5^2+35^2-35^2}{2\cdot 5\cdot 35} =\frac{1}{14}.$$
2) $$AE=\frac12 AB=\frac12\cdot 32=16$$ м.
В прямоугольном треугольнике $$ACE$$:
$$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{65^2-16^2}=\sqrt{4225-256}=63$$ м.
В прямоугольном треугольнике $$AED$$:
$$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=12$$ м.
В треугольнике $$CED$$ по теореме косинусов:
$$\cos\alpha=\frac{CE^2+DE^2-CD^2}{2\cdot CE\cdot DE} =\frac{63^2+12^2-63^2}{2\cdot 63\cdot 12} =\frac{2}{21}.$$
Ответ: $$\frac{1}{14};\ \frac{2}{21}$$.
