Упр.46 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса $$0{,}7\ \text{м}$$ восставлен перпендикуляр длиной $$2{,}4\ \text{м}$$. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности, $$r=0{,}7$$ м, $$SO=2{,}4$$ м. Тогда расстояние от точки $$S$$ до каждой стороны треугольника одинаково, так как центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон, а точка $$S$$ лежит на перпендикуляре к плоскости треугольника, проведённом через $$O$$.

Рассмотрим, например, сторону $$MN$$ и точку касания $$A$$. Радиус $$OA$$ перпендикулярен стороне $$MN$$, значит по теореме о трёх перпендикулярах $$SA \perp MN$$. Следовательно, $$SA$$ — искомое расстояние от точки $$S$$ до стороны $$MN$$.

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ по теореме Пифагора:

$$SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=\sqrt{2{,}4^2+0{,}7^2}=\sqrt{5{,}76+0{,}49}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5\text{ м}.$$

Так как стороны треугольника равноправны, то

$$SA=SB=SC=2{,}5\text{ м}.$$

Ответ: $$2{,}5$$ м.