Упр.45 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Как относятся между собой боковая и полная поверхности равностороннего конуса (в сечении правильный треугольник)?

Рассмотрим осевое сечение конуса. По условию оно является правильным треугольником, значит $$\triangle ABC$$ — равносторонний.

Тогда $$AC=CB=a$$, а радиус основания равен половине стороны основания:

$$R=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.$$

Площадь боковой поверхности конуса:

$$S_{\text{бок}}=\pi Rl,$$

где $$l=AC=a$$ — образующая конуса. Следовательно,

$$S_{\text{бок}}=\pi \cdot \frac{a}{2}\cdot a=\frac{\pi a^2}{2}.$$

Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=\pi R^2=\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4}.$$

Тогда полная поверхность равна

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}=\frac{\pi a^2}{2}+\frac{\pi a^2}{4}=\frac{3\pi a^2}{4}.$$

Найдём отношение боковой и полной поверхностей:

$$S_{\text{бок}}:S_{\text{полн}}=\frac{\pi a^2}{2}:\frac{3\pi a^2}{4}= \frac{1}{2}:\frac{3}{4}=2:3.$$

Ответ

$$2:3$$