Упр.45 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Радиусы шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Подробный ответ

Обозначим центры шаров через $$O$$ и $$O_1$$, а точку пересечения их поверхностей в плоскости общего диаметрального сечения — через $$A$$. Тогда искомая линия пересечения шаров является окружностью, радиус которой равен $$AH$$, где $$H$$ — основание перпендикуляра из $$A$$ на прямую $$OO_1$$.

Рассмотрим треугольник $$OO_1A$$. Его стороны равны:

$$OO_1=36\text{ дм},\quad OA=25\text{ дм},\quad O_1A=29\text{ дм}.$$

Найдём площадь этого треугольника по формуле Герона:

$$ p=\frac{25+29+36}{2}=45 $$
$$ S=\sqrt{p(p-25)(p-29)(p-36)} =\sqrt{45\cdot 20\cdot 16\cdot 9} =360\text{ дм}^2. $$

С другой стороны, если взять основание $$OO_1$$, то

$$ S=\frac{1}{2}\,OO_1\cdot AH. $$

Тогда

$$ AH=\frac{2S}{OO_1}=\frac{2\cdot 360}{36}=20\text{ дм}. $$

Искомая линия пересечения — окружность радиуса $$20$$ дм, поэтому её длина равна

$$ l=2\pi AH=2\pi\cdot 20=40\pi\text{ дм}=4\pi\text{ м}. $$