Упр.45 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами $$6\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Все двугранные углы при основании пирамиды равны $$60^\circ$$. Найдите высоту пирамиды.

Опустим перпендикуляр $$DO$$ к плоскости основания пирамиды и проведём перпендикуляры $$DK,\ DM,\ DN$$ к рёбрам $$BC,\ AC,\ AB$$ соответственно. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

$$OK\perp BC,\quad OM\perp AC,\quad ON\perp AB.$$

Линейные углы двугранных углов при основании равны $$60^\circ$$, значит

$$\angle DKO=\angle DMO=\angle DNO=60^\circ.$$

Тогда прямоугольные треугольники $$DKO,\ DMO,\ DNO$$ равны по катету и острому углу, откуда

$$OM=OK=ON.$$

Следовательно, точка $$O$$ — центр окружности, вписанной в $$\triangle ABC$$, а потому $$OM=r$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности.

Найдём его. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$$

Тогда площадь основания

$$S=\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\cdot 6\cdot 8=24,$$

а полупериметр

$$p=\frac{6+8+10}{2}=12.$$

Значит,

$$r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2.$$

В прямоугольном треугольнике $$DMO$$

$$DO=MO\cdot \tg 60^\circ=r\sqrt{3}=2\sqrt{3}.$$

Следовательно, высота пирамиды равна $$2\sqrt{3}$$ см.

Ответ: $$2\sqrt{3}\text{ см}$$.