Упр.45 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.44. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда в равнобедренных треугольниках $$ACE$$ и $$BDE$$ отрезки $$CE$$ и $$DE$$ являются высотами и медианами.

Так как $$AB=16$$ м, то

$$AE=BE=\frac{1}{2}AB=8\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACE$$:

$$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BDE$$ угол при вершине $$D$$ равен $$45^\circ$$, значит

$$DE=BE=8\text{ м}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CED$$. Возможны два случая расположения плоскостей, поэтому угол между $$CE$$ и $$DE$$ может быть равен $$60^\circ$$ или $$120^\circ$$.

1) Если $$\angle CED=60^\circ$$, то по теореме косинусов

$$ CD^2=CE^2+DE^2-2\cdot CE\cdot DE\cdot \cos 60^\circ $$

$$ CD^2=15^2+8^2-2\cdot 15\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=169, $$

откуда

$$CD=13\text{ м}.$$

2) Если $$\angle CED=120^\circ$$, то

$$ CD^2=CE^2+DE^2-2\cdot CE\cdot DE\cdot \cos 120^\circ $$

$$ CD^2=15^2+8^2-2\cdot 15\cdot 8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=409, $$

откуда

$$CD=\sqrt{409}\text{ м}.$$