Упр.45 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол $$60^\circ$$. Общее основание равно $$16\ \text{м}$$, боковая сторона одного треугольника $$17\ \text{м}$$, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.
44. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда в равнобедренных треугольниках $$ACB$$ и $$ABD$$ отрезки $$CE$$ и $$DE$$ являются медианами, высотами и биссектрисами.

Так как $$AB=16$$, то

$$AE=EB=\frac{1}{2}AB=8.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACE$$:

$$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15.$$

В прямоугольном треугольнике $$DEB$$:

$$DE=\sqrt{DB^2-EB^2}.$$

Но по условию боковые стороны второго треугольника перпендикулярны, значит $$\angle ADB=90^\circ$$, и треугольник $$ADB$$ прямоугольный равнобедренный. Тогда

$$DE=EB=8.$$

Рассмотрим угол между отрезками $$CE$$ и $$DE$$. Он может быть равен либо $$60^\circ$$, либо $$120^\circ$$, поэтому применим теорему косинусов в треугольнике $$CED$$.

1) Если $$\angle CED=60^\circ$$, то

$$CD^2=CE^2+DE^2-2\cdot CE\cdot DE\cdot \cos 60^\circ$$

$$CD^2=15^2+8^2-2\cdot 15\cdot 8\cdot \frac12=225+64-120=169,$$

откуда

$$CD=13.$$

2) Если $$\angle CED=120^\circ$$, то

$$CD^2=CE^2+DE^2-2\cdot CE\cdot DE\cdot \cos 120^\circ$$

$$CD^2=15^2+8^2-2\cdot 15\cdot 8\cdot \left(-\frac12\right)=225+64+120=409,$$

откуда

$$CD=\sqrt{409}.$$

Ответ: $$13\text{ м}$$; $$\sqrt{409}\text{ м}$$.