Упр.45 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника.Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон данного треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$A$$, $$B$$ и $$C$$ — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника, а $$S$$ — произвольная точка прямой $$OS$$, где $$OS \perp$$ плоскости треугольника.

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то радиусы к точкам касания перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника. Значит, $$OA \perp$$ стороне треугольника, касающейся в точке $$A$$.

По теореме о трёх перпендикулярах отрезок $$SA$$ тоже перпендикулярен этой стороне, следовательно, его длина равна расстоянию от точки $$S$$ до данной стороны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SAO$$. По теореме Пифагора

$$SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=\sqrt{SO^2+r^2}.$$

Аналогично получаем

$$SB=\sqrt{SO^2+OB^2}=\sqrt{SO^2+r^2},$$

$$SC=\sqrt{SO^2+OC^2}=\sqrt{SO^2+r^2}.$$

Следовательно,

$$SA=SB=SC.$$

Значит, любая точка прямой $$OS$$ равноудалена от всех сторон данного треугольника.