Упр.45 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон данного треугольника.

Пусть $$A,$$ $$B$$ и $$C$$ — точки касания сторон треугольника с вписанной окружностью, а $$S$$ — произвольная точка на прямой, проведённой через центр $$O$$ окружности перпендикулярно плоскости треугольника.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

$$OA \perp AC,$$

и, следовательно, $$OA \perp AC$$ — это расстояние от точки $$O$$ до стороны треугольника. По теореме о трёх перпендикулярах отрезок $$SA$$ также перпендикулярен стороне треугольника, значит, $$SA$$ является расстоянием от точки $$S$$ до этой стороны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SAO$$. По теореме Пифагора

$$SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=\sqrt{SO^2+r^2},$$

где $$r$$ — радиус вписанной окружности.

Аналогично получаем

$$SB=\sqrt{SO^2+OB^2}=\sqrt{SO^2+r^2},$$

$$SC=\sqrt{SO^2+OC^2}=\sqrt{SO^2+r^2}.$$

Значит,

$$SA=SB=SC,$$

то есть каждая точка данной прямой равноудалена от сторон треугольника.