Упр.44 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Площадь основания конуса $$S$$, а образующие наклонены к плоскости основания под углом $$\alpha$$. Найдите боковую поверхность конуса.

Площадь основания конуса равна $$S=\pi R^2,$$ значит

$$R=\sqrt{\frac{S}{\pi}}.$$

Рассмотрим осевое сечение конуса. В прямоугольном треугольнике $$OSA$$ угол между образующей $$SA$$ и плоскостью основания равен $$\alpha,$$ поэтому $$\angle SAO=\alpha.$$

Тогда

$$\cos\alpha=\frac{AO}{AS}.$$

Так как $$AO=R=\sqrt{\frac{S}{\pi}},$$ получаем

$$AS=\frac{AO}{\cos\alpha}=\sqrt{\frac{S}{\pi}}\cdot\frac{1}{\cos\alpha}.$$

Боковая поверхность конуса равна

$$S_{\text{бок}}=\pi Rl,$$

где $$l=AS.$$ Тогда

$$S_{\text{бок}}=\pi\cdot \sqrt{\frac{S}{\pi}}\cdot \sqrt{\frac{S}{\pi}}\cdot \frac{1}{\cos\alpha}=\frac{S}{\cos\alpha}.$$

Ответ: $$\frac{S}{\cos\alpha}.$$