Упр.44 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Площадь основания конуса S, а образующие наклонены к плоскости основания под углом а. Найдите боковую поверхность конуса.

Подробный ответ

Площадь основания конуса равна $$S=\pi R^2,$$ значит

$$R=\sqrt{\frac{S}{\pi}}.$$

Рассмотрим осевое сечение конуса. В прямоугольном треугольнике $$OSA$$ угол между образующей $$SA$$ и плоскостью основания равен $$\alpha,$$ поэтому $$\angle SAO=\alpha.$$

Тогда

$$\cos \alpha=\frac{AO}{AS}=\frac{R}{l},$$

откуда

$$l=\frac{R}{\cos \alpha}=\frac{1}{\cos \alpha}\sqrt{\frac{S}{\pi}}.$$

Площадь боковой поверхности конуса равна

$$S_{\text{бок}}=\pi Rl.$$

Подставим найденные значения:

$$ S_{\text{бок}}=\pi \cdot \sqrt{\frac{S}{\pi}} \cdot \frac{1}{\cos \alpha}\sqrt{\frac{S}{\pi}} =\pi \cdot \frac{S}{\pi} \cdot \frac{1}{\cos \alpha} =\frac{S}{\cos \alpha}. $$