Упр.44 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол В. Найдите высоту пирамиды.

Подробный ответ

Опустим перпендикуляр $$DK$$ к плоскости основания пирамиды. Тогда $$DK$$ — высота пирамиды.

Так как каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $$\beta$$, то

$$\angle DAB=\angle DBC=\angle DCA=\beta.$$

Следовательно, треугольники $$DAK$$, $$DBK$$ и $$DCK$$ равны по катету и острому углу, значит

$$AK=BK=CK.$$

Точка $$K$$ — центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Но $$\triangle ABC$$ прямоугольный, поэтому центр описанной окружности лежит на гипотенузе $$BC$$, и

$$BK=CK=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DKC$$. В нём

$$\tg\beta=\frac{DK}{CK},$$

откуда

$$DK=CK\cdot\tg\beta=\frac{a}{2}\tg\beta.$$