Упр.44 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние $$1\ \text{м}$$, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные $$60^\circ$$.

Подробный ответ

Пусть $$SO\perp \alpha$$, где $$O$$ — основание перпендикуляра. Тогда углы между наклонными и перпендикуляром равны $$60^\circ$$, то есть

$$\angle ASO=\angle BSO=60^\circ.$$

Так как $$SA=SB$$ и $$SO$$ — общий катет, то прямоугольные треугольники $$\triangle AOS$$ и $$\triangle BOS$$ равны. Следовательно,

$$\angle SAO=\angle SBO=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle AOS$$

$$SO=SA\cdot \cos 60^\circ=\frac{1}{2}SA,$$

откуда

$$SA=2\cdot SO=2\cdot 1=2\text{ м}.$$

Аналогично $$SB=2\text{ м}.$$

Так как $$SA\perp SB$$, то треугольник $$SAB$$ прямоугольный, и

$$AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\text{ м}.$$