Упр.43 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Докажите, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из биссектрис углов, получающихся при пересечении этих прямых.

Подробный ответ

Пусть данные прямые пересекаются в точке $$O$$. Проведём биссектрису одного из углов, образованных этими прямыми, и возьмём на ней произвольную точку $$A$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляры $$AB$$ и $$AC$$ к данным прямым. Тогда треугольники $$\triangle OBA$$ и $$\triangle OCA$$ прямоугольные, у них общая гипотенуза $$OA$$ и равны острые углы при вершине $$O$$:

$$\angle BOA=\angle AOC.$$

Следовательно, $$\triangle OBA \cong \triangle OCA$$ по гипотенузе и острому углу. Значит,

$$AB=AC.$$

Итак, любая точка биссектрисы равноудалена от данных прямых.

Обратно, пусть точка $$A$$ равноудалена от данных прямых, то есть $$AB=AC$$, где $$AB$$ и $$AC$$ — перпендикуляры к этим прямым. Тогда прямоугольные треугольники $$\triangle OBA$$ и $$\triangle OCA$$ имеют общую гипотенузу $$OA$$ и равные катеты $$AB$$ и $$AC$$, значит, они равны. Отсюда

$$\angle BOA=\angle AOC,$$

то есть прямая $$OA$$ является биссектрисой угла между данными прямыми.

Аналогично получаются биссектрисы и других углов, образованных пересекающимися прямыми.