Упр.43 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, состоит из биссектрис углов, получающихся при пересечении этих прямых.

Пусть данные прямые пересекаются в точке $$O$$. Проведём биссектрису одного из углов, образованных этими прямыми, и возьмём на ней произвольную точку $$A$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляры $$AB$$ и $$AC$$ к данным прямым. Тогда треугольники $$\triangle OBA$$ и $$\triangle OCA$$ прямоугольные, у них общая гипотенуза $$OA$$ и равны острые углы при вершине $$O$$:

$$\angle BOA=\angle AOC.$$

Следовательно, $$\triangle OBA \cong \triangle OCA$$ по гипотенузе и острому углу, откуда

$$AB=AC.$$

Значит, любая точка биссектрисы равноудалена от данных прямых.

Обратно, пусть точка $$A$$ равноудалена от этих прямых, то есть $$AB=AC$$. Тогда в прямоугольных треугольниках $$\triangle OBA$$ и $$\triangle OCA$$ общая гипотенуза $$OA$$ и равный катет $$AB=AC$$, значит, эти треугольники равны. Отсюда

$$\angle BOA=\angle AOC,$$

то есть точка $$A$$ лежит на биссектрисе угла между данными прямыми.

Аналогично получаем, что точки, равноудалённые от двух пересекающихся прямых, лежат и на биссектрисах вертикальных углов. Следовательно, геометрическое место таких точек состоит из двух биссектрис углов, образованных при пересечении прямых.