Упр.43 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Шар радиуса $$R$$ вписан в усечённый конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен $$a$$. Найдите радиусы оснований и образующую усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно является равнобедренной трапецией, в которую вписана окружность радиуса $$R$$. Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$r_1$$ и $$r_2$$, а образующую — через $$l$$.

Так как шар вписан в усечённый конус, то в осевом сечении окружность вписана в трапецию. Следовательно, высота трапеции равна диаметру окружности:

$$h=2R.$$

Пусть угол наклона образующей к плоскости нижнего основания равен $$\alpha$$. Тогда в осевом сечении образующая образует с основанием угол $$\alpha$$, и для прямоугольного треугольника получаем:

$$\sin\alpha=\frac{h}{l}=\frac{2R}{l},$$

откуда

$$l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$

Теперь найдём радиусы оснований. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла при основании, поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой, равной образующей, имеем:

$$r_1=R\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Для второго основания используем, что в равнобедренной трапеции отрезки касательных из одной точки равны, поэтому

$$r_2=l-r_1.$$

Подставляя найденные значения, получаем:

$$r_2=\frac{2R}{\sin\alpha}-R\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Преобразуем:

$$\frac{2R}{\sin\alpha}-R\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{2R}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}-R\cdot\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{R}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}-\frac{R\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$$

$$= \frac{R(1-\sin^2\frac{\alpha}{2})}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{R\cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}}.$$

Итак,

$$r_1=R\tan\frac{\alpha}{2},\qquad r_2=\frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}},\qquad l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$

Ответ: $$r_1=R\tan\frac{\alpha}{2},\; r_2=\frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}},\; l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$