Упр.43 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом $$\alpha$$. Как наклонены к плоскости основания боковые рёбра?

Пусть $$DBC$$ — боковая грань, перпендикулярная плоскости основания. Тогда прямая $$DK$$, проведённая в этой грани перпендикулярно $$BC$$, является высотой пирамиды.

Проведём в основании $$DM \perp AC$$ и $$DN \perp AB$$. По теореме о трёх перпендикулярах имеем $$MK \perp AC$$ и $$NK \perp AB$$. Значит, $$\angle DNK=\angle DMK=\alpha$$ как линейные углы двугранных углов между боковыми гранями и основанием.

Треугольники $$DMK$$ и $$DNK$$ равны по катету и острому углу, откуда $$MK=NK$$.

Так как $$\triangle ABC$$ — правильный, то $$\angle C=\angle B=60^\circ$$. Следовательно, в треугольниках $$MKC$$ и $$NKB$$ получаем $$KC=KB=\dfrac{a}{2}$$.

Теперь найдём нужные отрезки:

$$MK=KC\sin 60^\circ=\frac{a}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{4},$$
$$AK=AC\sin 60^\circ=\frac{a\sqrt3}{2},$$
$$DK=MK\tg\alpha=\frac{a\sqrt3}{4}\tg\alpha.$$

Для ребра $$DC$$ в прямоугольном треугольнике $$DCK$$ имеем

$$\tg \angle DCK=\frac{DK}{KC} =\frac{\frac{a\sqrt3}{4}\tg\alpha}{\frac{a}{2}} =\frac{\sqrt3}{2}\tg\alpha,$$
откуда
$$\angle DCK=\arctg\!\left(\frac{\sqrt3}{2}\tg\alpha\right).$$

Для ребра $$DA$$ в прямоугольном треугольнике $$DAK$$ получаем

$$\tg \angle DAK=\frac{DK}{AK} =\frac{\frac{a\sqrt3}{4}\tg\alpha}{\frac{a\sqrt3}{2}} =\frac12\tg\alpha,$$
следовательно,
$$\angle DAK=\arctg\!\left(\frac12\tg\alpha\right).$$

Ответ: $$\arctg\!\left(\frac{\sqrt3}{2}\tg\alpha\right),\ \arctg\!\left(\frac12\tg\alpha\right).$$