Упр.43 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка A, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от другой плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

Пусть точка $$A$$ лежит в плоскости $$\alpha$$. Опустим из неё перпендикуляр $$AA’$$ на плоскость $$\beta$$, тогда $$AA’=a$$.

Из точки $$A$$ опустим перпендикуляр $$AB$$ на прямую $$c$$, по которой пересекаются плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$.

По теореме о трёх перпендикулярах прямая $$A’B$$ перпендикулярна прямой $$c$$.

Следовательно, плоскость $$ABA’$$ перпендикулярна прямой $$c$$, а значит, угол между прямыми $$AB$$ и $$AA’$$ равен углу между плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$, то есть $$30^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABA’$$ имеем:

$$ \sin 30^\circ=\frac{AA’}{AB} $$

Отсюда

$$ AB=\frac{AA’}{\sin 30^\circ}=\frac{a}{\frac12}=2a. $$

Ответ

$$2a$$