Упр.43 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две плоскости пересекаются под углом $$30^\circ$$. Точка $$A$$, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от другой плоскости на расстояние $$a$$. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

Пусть $$A\in \alpha.$$ Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AA’$$ на плоскость $$\beta$$. Тогда $$AA’=a$$.

Из точки $$A$$ опустим перпендикуляр $$AB$$ на прямую $$c$$, по которой пересекаются плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$.

По теореме о трёх перпендикулярах имеем $$A’B\perp c.$$ Значит, плоскость $$ABA’$$ перпендикулярна прямой $$c$$, а потому угол между прямой $$AB$$ и плоскостью $$\beta$$ равен углу между $$AB$$ и $$AA’$$, то есть $$30^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABA’$$:

$$\sin 30^\circ=\frac{AA’}{AB}$$

$$AB=\frac{AA’}{\sin 30^\circ}=\frac{a}{\frac12}=2a.$$

Следовательно, расстояние от точки $$A$$ до прямой пересечения плоскостей равно $$2a$$.

Ответ: $$2a$$.