Упр.43 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные длиной $$2\ \text{м}$$. Найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол $$60^\circ$$, а их проекции перпендикулярны.

Пусть $$SO$$ — перпендикуляр, опущенный из точки $$S$$ на плоскость. Тогда $$SO \perp \alpha$$, а точки $$A$$ и $$B$$ — основания наклонных $$SA$$ и $$SB$$ на плоскости.

Так как $$SA=SB=2\text{ м}$$ и $$\angle ASB=60^\circ$$, то треугольник $$ASB$$ равносторонний. Следовательно,

$$AB=SA=SB=2\text{ м}.$$

Проекции равных наклонных, проведённых из одной точки, равны, значит

$$AO=OB.$$

По условию $$AO \perp OB$$, поэтому треугольник $$AOB$$ — прямоугольный равнобедренный. Тогда

$$AO=OB=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ имеем:

$$SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}\text{ м}.$$

Ответ: $$\sqrt{2}\text{ м}$$.