Упр.42 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте четырёхугольник $$ABCD$$ по сторонам $$AB$$, $$BC$$, диагонали $$AC$$ и углу между диагоналями, если известно, что он является вписанным в окружность.

Построим искомый четырёхугольник по данным сторонам и диагонали.

1. Построим треугольник $$ABC$$ по трём сторонам: отложим отрезок $$AB$$, затем проведём окружности с центрами в точках $$A$$ и $$B$$ радиусами соответственно $$AC$$ и $$BC$$. Точку их пересечения обозначим $$C$$.
2. Около треугольника $$ABC$$ опишем окружность.
3. В точке $$B$$ отложим угол $$\angle FBC=\alpha$$ так, чтобы луч $$BF$$ лежал по одну сторону от прямой $$BC$$.
4. Восстановим в точке $$B$$ перпендикуляр к прямой $$BF$$ и построим серединный перпендикуляр к отрезку $$CB$$. Их пересечение обозначим $$O_1$$.
5. Построим окружность с центром в точке $$O_1$$ и радиусом $$O_1C$$. Тогда прямая $$BF$$ будет касательной к этой окружности, а значит $$\angle CBF=2\alpha$$.
6. Обозначим через $$O$$ точку пересечения этой окружности с диагональю $$AC$$. Проведём прямую $$BO$$ и отметим точку $$D$$ как точку пересечения прямой $$BO$$ с первой окружностью.

Тогда $$O$$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника, а

$$\angle COB=\frac12\angle CBF=\alpha.$$

Следовательно, построенный четырёхугольник $$ABCD$$ является вписанным в окружность и удовлетворяет всем данным условиям.