Упр.42 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Постройте четырехугольник ABCD по сторонам AB, BC диагонали AC и углу между диагоналями, если известно что он является вписанным в окружность.

Подробный ответ

Построим сначала треугольник $$ABC$$ по трём сторонам: отложим отрезок $$AB$$, затем проведём окружности с центрами в точках $$A$$ и $$B$$ радиусами $$AC$$ и $$BC$$ соответственно. Точка их пересечения даст точку $$C$$.

Далее опишем около треугольника $$ABC$$ окружность. В точке $$B$$ отложим угол $$\angle FBC=\alpha$$ со стороной $$BC$$.

Проведём в точке $$B$$ перпендикуляр к прямой $$BF$$ и серединный перпендикуляр к отрезку $$CB$$. Их пересечение обозначим через $$O_1$$.

Построим окружность с центром в точке $$O_1$$ и радиусом $$R=O_1C$$. Тогда прямая $$BF$$ будет касательной к этой окружности, а значит

$$\angle CBF=2\angle FBC=2\alpha.$$

Теперь отметим точку $$O$$ как точку пересечения этой окружности с диагональю $$AC$$. Проведём прямую $$BO$$ и отметим точку $$D$$ как точку пересечения прямой $$BO$$ с первой окружностью. Тогда $$O$$ — точка пересечения диагоналей, и

$$\angle COB=\frac{1}{2}\angle CBF=\alpha.$$

Следовательно, построенный четырёхугольник $$ABCD$$ является искомым: он вписан в окружность, имеет заданные стороны $$AB$$, $$BC$$, диагональ $$AC$$ и заданный угол между диагоналями.