Упр.42 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 6-42. Через касательную к поверхности шара проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, пересекающие шар по кругам радиусов $$r_1$$ и $$r_2$$. Найдите радиус шара $$R$$.

Пусть прямая касается шара в точке $$A$$, а точки $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры кругов сечений радиусов $$r_1$$ и $$r_2$$.

Тогда $$OO_1 \perp O_1A$$ и $$OO_2 \perp O_2A$$, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Кроме того, по условию плоскости сечений взаимно перпендикулярны, значит $$O_1A \perp O_2A$$. Следовательно, треугольник с катетами $$AO_1$$ и $$AO_2$$ прямоугольный, а отрезок $$OA$$ является его гипотенузой.

Так как $$AO_1=r_1$$ и $$AO_2=r_2$$, то по теореме Пифагора

$$OA^2=AO_1^2+AO_2^2$$

$$R^2=r_1^2+r_2^2$$

$$R=\sqrt{r_1^2+r_2^2}$$

Ответ: $$R=\sqrt{r_1^2+r_2^2}$$.