Упр.42 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

42. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами $$6\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$. Каждое боковое ребро пирамиды равно $$13\text{ см}$$. Вычислите высоту пирамиды.

Опустим перпендикуляр $$SO$$ к основанию пирамиды. Тогда $$SO$$ — высота пирамиды.

Так как все боковые рёбра равны, то

$$SA=SB=SC=SD=13\text{ см}.$$

Следовательно, точки $$A,B,C,D$$ равноудалены от точки $$O$$ — основания высоты, значит $$O$$ является центром описанной окружности прямоугольника $$ABCD$$, то есть точкой пересечения его диагоналей.

Найдём диагональ основания:

$$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\text{ см}.$$

Тогда

$$OC=\frac{1}{2}AC=5\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SOC$$ по теореме Пифагора:

$$SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$

Ответ: $$12\text{ см}$$.