Упр.42 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.

Подробный ответ

Пусть плоскость $$\gamma$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$a$$ и $$b$$ соответственно. Тогда $$a \parallel b$$, так как линии пересечения одной и той же плоскости с двумя параллельными плоскостями параллельны.

Проведём в плоскости $$\gamma$$ прямую $$c$$, пересекающую прямые $$a$$ и $$b$$. Тогда углы между прямыми $$a$$ и $$c$$, а также между прямыми $$b$$ и $$c$$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $$a$$ и $$b$$.

Но угол между плоскостями $$\gamma$$ и $$\alpha$$ измеряется углом между прямыми $$c$$ и $$a$$, а угол между плоскостями $$\gamma$$ и $$\beta$$ — углом между прямыми $$c$$ и $$b$$. Следовательно, эти углы равны.

Значит, плоскость $$\gamma$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ под равными углами, что и требовалось доказать.