Упр.42 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.

Пусть плоскость $$\gamma$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$a$$ и $$b$$ соответственно.

Так как $$\alpha \parallel \beta$$, то прямые пересечения $$a$$ и $$b$$ параллельны, то есть $$a \parallel b$$.

Проведём в плоскости $$\gamma$$ прямую $$c$$, пересекающую прямые $$a$$ и $$b$$. Тогда углы между прямыми $$a$$ и $$c$$, а также между прямыми $$b$$ и $$c$$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $$a$$ и $$b$$.

Но эти углы и есть углы между плоскостью $$\gamma$$ и плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$, поскольку $$a \subset \alpha$$, $$b \subset \beta$$, $$c \subset \gamma$$.

Следовательно, плоскость $$\gamma$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ под равными углами.