Упр.42 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из вершины прямоугольника восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны $$a$$, $$b$$, $$c$$ ($$a

Обозначим конец перпендикуляра через $$S$$, а вершину прямоугольника, из которой он восставлен, — через $$A$$. Тогда $$SA \perp (ABCD)$$, а значит, треугольники $$SAB$$, $$SAD$$ и $$SAC$$ прямоугольные.

Так как $$a<c$$ и $$b<c$$, то наибольшее расстояние соответствует диагонали прямоугольника, поэтому $$SC=c$$, а остальные расстояния можно обозначить так: $$SB=a$$, $$SD=b$$.

Из прямоугольного треугольника $$SDC$$ получаем:

$$DC=\sqrt{SC^2-SD^2}=\sqrt{c^2-b^2}.$$

В прямоугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны равны, значит

$$AB=DC=\sqrt{c^2-b^2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$SAB$$ находим:

$$SA=\sqrt{SB^2-AB^2} =\sqrt{a^2-(c^2-b^2)} =\sqrt{a^2+b^2-c^2}.$$

Теперь из прямоугольного треугольника $$SBC$$:

$$BC=\sqrt{SC^2-SB^2}=\sqrt{c^2-a^2}.$$

Так как в прямоугольнике $$ABCD$$ $$BC=AD$$, то вторая сторона равна $$\sqrt{c^2-a^2}$$.

Ответ

$$SA=\sqrt{a^2+b^2-c^2},\quad AB=\sqrt{c^2-b^2},\quad BC=\sqrt{c^2-a^2}.$$