Упр.42 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из вершины прямоугольника восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны а, b, с (а < с, b < с). Найдите длину перпендикуляра и стороны прямоугольника.

Подробный ответ

Обозначим основание перпендикуляра через $$A$$, а его конец — через $$S$$. Тогда $$SA \perp (ABCD)$$, значит треугольники $$SAB$$, $$SAC$$ и $$SAD$$ прямоугольные.

Так как $$a<c$$ и $$b<c$$, наибольшее расстояние соответствует диагонали прямоугольника, поэтому $$SC=c$$, а остальные расстояния равны $$SB=a$$ и $$SD=b$$.

Из прямоугольного треугольника $$SDC$$ получаем:

$$DC=\sqrt{SC^2-SD^2}=\sqrt{c^2-b^2}.$$

Но в прямоугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны равны, значит

$$AB=DC=\sqrt{c^2-b^2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$SAB$$:

$$SA=\sqrt{SB^2-AB^2}=\sqrt{a^2-(c^2-b^2)}=\sqrt{a^2+b^2-c^2}.$$

Наконец, из прямоугольного треугольника $$SBC$$:

$$BC=\sqrt{SC^2-SB^2}=\sqrt{c^2-a^2}.$$

Следовательно, длина перпендикуляра и стороны прямоугольника равны:

$$SA=\sqrt{a^2+b^2-c^2},\quad AB=\sqrt{c^2-b^2},\quad BC=\sqrt{c^2-a^2}.$$