Упр.41 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Превратите данный треугольник в равновеликий ему треугольник с тем же основанием и заданным углом при противолежащей вершине.

Через точку $$C$$ проведём прямую $$b$$, параллельную отрезку $$AB$$. Тогда любая точка $$C’$$ на прямой $$b$$ вместе с точками $$A$$ и $$B$$ образует треугольник $$ABC’$$, равновеликий треугольнику $$ABC$$, так как у них одинаковые основания $$AB$$ и равные высоты.

Теперь построим угол при вершине $$C’$$, равный заданному углу $$\alpha$$.

1. Через точку $$A$$ проведём луч $$AF$$ так, чтобы $$\angle FAB=\alpha$$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$ и перпендикуляр к прямой $$AC$$ в точке $$A$$. Пусть они пересекутся в точке $$O$$.
3. Проведём окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OA=OB$$. Тогда отрезок $$AB$$ будет её хордой.
4. Поскольку $$AF$$ — касательная к этой окружности, то по теореме о касательной и хорде
   $$\angle FAB=\angle ACB’=\alpha,$$
   где $$B’$$ — точка пересечения луча $$AF$$ с окружностью.
5. Отметим точку $$C’$$ как точку пересечения прямой $$b$$ с построенной окружностью. Тогда
   $$\angle AC’B=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\alpha,$$
   то есть угол при вершине $$C’$$ равен заданному.

Следовательно, треугольник $$ABC’$$ равновелик данному треугольнику $$ABC$$ и имеет при вершине $$C’$$ угол, равный $$\alpha$$.