Упр.41 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Превратите данный треугольник в равновеликий ему треугольник с тем же основанием и заданным углом при противолежащей вершине.

Проведём через точку $C$ прямую $b$, параллельную отрезку $AB$. Тогда любая точка $C’$ на прямой $b$ даёт треугольник $ABC’$, равновеликий треугольнику $ABC$, так как у них одинаковое основание $AB$ и равные высоты.

Теперь нужно выбрать на прямой $b$ такую точку $C’$, чтобы угол при вершине $C’$ был равен заданному углу $\alpha$.

Через точку $A$ проведём луч $AF$ так, чтобы $$\angle FAB=\alpha.$$

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ и перпендикуляр к прямой $AF$ в точке $A$. Пусть они пересекаются в точке $O$.

Тогда $$OA=OB,$$ значит, точка $O$ — центр окружности, проходящей через точки $A$ и $B$.

Проведём окружность с центром $O$ и радиусом $$R=OA=OB.$$

Так как прямая $AF$ касается этой окружности в точке $A$, то угол между касательной и хордой равен половине соответствующей дуги, следовательно,
$$\overset{\frown}{AB}=2\angle DAB=2\alpha.$$

Отметим точку $C’$ как точку пересечения построенной окружности с прямой $b$. Тогда угол $$\angle AC’B$$, как вписанный, опирающийся на дугу $AB$, равен
$$\angle AC’B=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\alpha.$$

Следовательно, треугольник $ABC’$ — искомый: он равновелик треугольнику $ABC$ и имеет заданный угол при вершине $C’$.

Ответ

Построить прямую через $C$, параллельную $AB$, затем окружность с хордой $AB$ и выбрать точку пересечения этой окружности с данной прямой; полученный треугольник $ABC’$ равновелик $ABC$ и имеет угол при вершине $C’$ равный $\alpha$.