Упр.41 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Одно ребро треугольной пирамиды равно $$4\text{ см}$$, каждое из остальных $$3\text{ см}$$. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Пусть основание пирамиды — треугольник $$ABC$$, а вершина — $$S$$. Так как одно ребро равно $$4$$ см, а остальные три — по $$3$$ см, можно считать, что $$BC=4$$, $$SA=SB=SC=3$$.

Тогда $$\triangle ABC$$ — равнобедренный с основанием $$BC$$, а точка $$O$$ — центр описанной около него окружности. Поскольку $$SA=SB=SC$$, то высота пирамиды $$SO$$ проходит через центр описанной окружности основания.

Найдём площадь основания по формуле Герона. Полупериметр треугольника $$ABC$$ равен

$$p=\frac{3+3+4}{2}=5.$$

Тогда

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-3)(p-3)(p-4)} =\sqrt{5\cdot 2\cdot 2\cdot 1} =2\sqrt{5}\ \text{см}^2.$$

Радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$:

$$R=\frac{abc}{4S_{ABC}}=\frac{3\cdot 3\cdot 4}{4\cdot 2\sqrt{5}} =\frac{9}{2\sqrt{5}}\ \text{см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ имеем

$$SO=\sqrt{SA^2-AO^2} =\sqrt{3^2-\left(\frac{9}{2\sqrt{5}}\right)^2} =\sqrt{9-\frac{81}{20}} =\sqrt{\frac{99}{20}} =\frac{3\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO =\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \frac{3\sqrt{11}}{2\sqrt{5}} =\sqrt{11}\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$\sqrt{11}\ \text{см}^3$$.