Упр.41 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое из остальных 3 см. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Пусть в треугольной пирамиде $$SA=SB=SC=3\text{ см}$$, а основание $$ABC$$ таково, что $$BC=4\text{ см}$$, $$AB=AC=3\text{ см}$$. Тогда $$\triangle ABC$$ — равнобедренный.

Так как $$SA=SB=SC$$, то точка $$O$$ — центр описанной около $$\triangle ABC$$ окружности, а $$SO\perp (ABC)$$. Следовательно, $$SO$$ — высота пирамиды.

Найдём площадь основания по формуле Герона:

$$ p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{3+4+3}{2}=5 $$
$$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} =\sqrt{5(5-3)(5-4)(5-3)} =\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ см}^2 $$

Найдём радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$:

$$ R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{ABC}} =\frac{3\cdot 4\cdot 3}{4\cdot 2\sqrt{5}} =\frac{9}{2\sqrt{5}}\text{ см} $$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$:

$$ SO=\sqrt{SA^2-AO^2} =\sqrt{3^2-\left(\frac{9}{2\sqrt{5}}\right)^2} =\sqrt{9-\frac{81}{20}} =\sqrt{\frac{99}{20}} =\frac{3\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}\text{ см} $$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$ V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO =\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \frac{3\sqrt{11}}{2\sqrt{5}} =\sqrt{11}\text{ см}^3 $$