Упр.41 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 41. Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.

Подробный ответ

Опустим из центра шара $$O$$ перпендикуляр $$OO_1$$ к плоскости ромба. Тогда расстояние от центра шара до плоскости ромба равно $$OO_1$$.

Так как шар касается всех сторон ромба, то расстояния от точки $$O$$ до всех сторон равны радиусу шара:

$$OM=ON=OK=OE=10\text{ см}.$$

Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах отрезки $$O_1M, O_1N, O_1K, O_1E$$ тоже перпендикулярны сторонам ромба, а значит, $$O_1$$ — центр вписанной окружности ромба.

Найдём сторону ромба. Его диагонали равны $$15\text{ см}$$ и $$20\text{ см}$$, поэтому половины диагоналей равны $$7{,}5\text{ см}$$ и $$10\text{ см}$$. Тогда сторона ромба:

$$ AD=\sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2+\left(\frac{20}{2}\right)^2} =\sqrt{7{,}5^2+10^2} =12{,}5\text{ см}. $$

Площадь ромба:

$$ S=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 20=150\text{ см}^2. $$

С другой стороны, если $$NE$$ — высота ромба, то

$$ S=AD\cdot NE, $$

откуда

$$ NE=\frac{S}{AD}=\frac{150}{12{,}5}=12\text{ см}. $$

Так как $$O_1$$ — центр вписанной окружности, то

$$ O_1E=\frac{NE}{2}=6\text{ см}. $$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1E$$ имеем:

$$ OO_1=\sqrt{OE^2-O_1E^2} =\sqrt{10^2-6^2} =\sqrt{64} =8\text{ см}. $$