Упр.41 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно $$12\ \text{см}$$, а боковая сторона — $$10\ \text{см}$$. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по $$45^\circ$$. Найдите высоту пирамиды.

Подробный ответ

Опустим перпендикуляр $$DH$$ к основанию пирамиды. Из точки $$H$$ проведём перпендикуляры $$DK$$, $$DM$$, $$DN$$ к рёбрам $$BC$$, $$AC$$ и $$AB$$ соответственно. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

$$HK\perp BC,\quad HM\perp AC,\quad HN\perp AB.$$

Так как двугранные углы между боковыми гранями и основанием равны $$45^\circ$$, то

$$\angle DKH=\angle DMH=\angle DNH=45^\circ.$$

Следовательно, прямоугольные треугольники $$DKH$$, $$DMH$$ и $$DNH$$ равны по катету и острому углу, значит

$$HK=HM=HN.$$

Значит, точка $$H$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$HK$$ — его радиус.

Найдём площадь треугольника $$ABC$$. Он равнобедренный, $$AC=12$$ см, $$AB=BC=10$$ см. По формуле Герона:

$$p=\frac{10+10+12}{2}=16,$$
$$S=\sqrt{16\cdot(16-10)\cdot(16-10)\cdot(16-12)}=48\text{ см}^2.$$

Тогда радиус вписанной окружности

$$HK=r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DHK$$. В нём

$$\angle DKH=90^\circ-45^\circ=45^\circ,$$