Упр.41 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом $$45^\circ$$ ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.

Пусть $$AC=BC=a$$ — катеты равнобедренного прямоугольного треугольника $$ABC$$, а плоскость $$\alpha$$ проведена через катет $$AC$$ и образует с катетом $$BC$$ угол $$45^\circ$$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ гипотенуза равна

$$AB=\frac{AC}{\cos 45^\circ}=\frac{a}{\frac{\sqrt2}{2}}=a\sqrt2.$$

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BD$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$D\in \alpha$$, а треугольник $$BCD$$ прямоугольный, причём

$$\angle BCD=45^\circ.$$

Следовательно,

$$BD=BC\cdot \sin 45^\circ=a\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{a}{\sqrt2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. Угол между гипотенузой $$AB$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен углу между прямой $$AB$$ и её проекцией $$AD$$ на эту плоскость, то есть $$\angle BAD$$.

В треугольнике $$ABD$$

$$\sin \angle BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{a}{\sqrt2}}{a\sqrt2}=\frac12.$$

Значит,

$$\angle BAD=30^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$.