Упр.41 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Из вершины квадрата восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны $$a$$ и $$b$$ ($$a<b$$). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата (рис. 65).

Пусть $$ABCD$$ — квадрат, а из вершины $$A$$ восстановлен перпендикуляр $$AS$$ к плоскости квадрата. Тогда проекции отрезков $$SB$$ и $$SD$$ на плоскость $$ABCD$$ равны соответственно $$AB$$ и $$AD$$, а так как $$AB=AD$$, то

$$SB=SD=a.$$

Рассмотрим треугольник $$SBC$$. Так как в квадрате $$AB\perp BC$$, а $$SB$$ — наклонная к плоскости $$ABCD$$, то по теореме о трёх перпендикулярах имеем $$SB\perp BC$$. Следовательно, треугольник $$SBC$$ прямоугольный, и

$$BC^2=SC^2-SB^2=b^2-a^2,$$

откуда

$$BC=\sqrt{b^2-a^2}.$$

Но в квадрате все стороны равны, значит

$$AB=BC=\sqrt{b^2-a^2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$SAB$$. В нём

$$SA^2=SB^2-AB^2=a^2-(b^2-a^2)=2a^2-b^2,$$

поэтому

$$SA=\sqrt{2a^2-b^2}.$$

Ответ: $$AB=\sqrt{b^2-a^2},\quad SA=\sqrt{2a^2-b^2}.$$