Упр.41 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из вершины квадрата восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны а и b (а < b). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата (рис. 65).

Подробный ответ

Обозначим вершину квадрата, из которой восставлен перпендикуляр, через $$A$$, а его конец — через $$S$$. Тогда $$AS \perp (ABCD)$$.

По условию расстояния от точки $$S$$ до двух соседних вершин квадрата равны $$a$$, а до противоположной вершины — $$b$$, где $$a<b$$. Значит, можно считать, что

$$SB=SD=a,\qquad SC=b.$$

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$AB \perp BC$$. Поскольку $$AS \perp (ABCD)$$, проекция отрезка $$SB$$ на плоскость квадрата — это $$AB$$, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах получаем $$SB \perp BC$$.

Треугольник $$SBC$$ прямоугольный, следовательно,

$$BC^2=SC^2-SB^2=b^2-a^2.$$

Но в квадрате $$AB=BC$$, значит

$$AB=\sqrt{b^2-a^2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$SAB$$. По теореме Пифагора:

$$ SA^2=SB^2-AB^2 \\ SA^2=a^2-(b^2-a^2)=2a^2-b^2. $$

Следовательно,

$$SA=\sqrt{2a^2-b^2}.$$