Упр.41 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дано: Параллельная проекция центрально симметричной фигуры;
Доказать: Изображение-центрально симметричная фигура;
Доказательство:
1) Пусть точка O-центр симметрии данной фигуры, а точка O_1-
ее проекция на плоскость;
2) Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых
при параллельном проектировании сохраняется, поэтому отрезки
между точкой O и точками на сторонах и вершинах фигуры будут
соотноситься с отрезками между точкой O_1 и точками на сторонах
и вершинах ее изображения в одинаковой пропорции;
3) Следовательно изображение данной фигуры будет также
центрально симметричным, что и требовалось доказать.

Пусть $$O$$ — центр симметрии данной фигуры, а $$O_1$$ — его параллельная проекция на плоскость изображения.

При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых. Поэтому для каждой пары симметричных точек фигуры их изображения будут располагаться так же, как точки, симметричные относительно точки $$O_1$$.

Значит, проекция каждой пары симметричных точек снова образует пару точек, симметричных относительно одной и той же точки $$O_1$$. Следовательно, изображение данной фигуры является центрально-симметричной фигурой.

Ответ

Параллельная проекция центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой.