Упр.40 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.

Построим вспомогательный треугольник $$ABF$$ так, чтобы $$AB=a$$, $$\angle AFB=\frac{\alpha}{2}$$ и $$AF=s$$.

Для этого сначала строим отрезок $$AF$$ длины $$s$$. Затем через точку $$F$$ проводим луч, образующий с прямой $$AF$$ угол $$\frac{\alpha}{2}$$. На этом луче откладываем точку $$B$$ так, чтобы $$AB=a$$.

Теперь восстанавливаем серединный перпендикуляр к отрезку $$BF$$ и обозначаем через $$C$$ точку его пересечения с отрезком $$AF$$.

Так как $$C$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$BF$$, то $$CB=CF$$. Следовательно, $$\triangle BCF$$ равнобедренный, а точка $$C$$ является серединой основания $$BF$$. Тогда

$$AC+CB=AC+CF=AF=s.$$

Кроме того, в равнобедренном треугольнике $$BCF$$ углы при основании равны:

$$\angle FBC=\angle CFB=\frac{\alpha}{2}.$$

Тогда

$$\angle BCF=180^\circ-\alpha.$$

Поскольку точки $$A, C, F$$ лежат на одной прямой, получаем

$$\angle ACB=180^\circ-\angle BCF=180^\circ-(180^\circ-\alpha)=\alpha.$$

Итак, треугольник $$ACB$$ имеет сторону $$AB=a$$, противолежащий ей угол $$\angle C=\alpha$$ и сумму двух других сторон

$$AC+CB=s.$$

Следовательно, построение выполнено.

Ответ

Построение треугольника $$ACB$$ с заданными $$AB=a$$, $$\angle C=\alpha$$ и $$AC+CB=s$$ выполнено с помощью вспомогательного треугольника $$ABF$$ и серединного перпендикуляра к $$BF$$.