Упр.40 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Bce боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Проведём высоту $$SO$$ пирамиды к основанию. Так как все боковые рёбра равны, то точка $$O$$ — центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, и $$AO=R$$.

Найдём площадь основания $$\triangle ABC$$ по формуле Герона. Полупериметр:

$$p=\frac{6+6+8}{2}=10.$$

Тогда

$$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-6)(p-6)(p-8)} =\sqrt{10\cdot 4\cdot 4\cdot 2} =8\sqrt{5}\ \text{см}^2. $$

Найдём радиус описанной окружности:

$$ AO=R=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4S_{ABC}} =\frac{6\cdot 6\cdot 8}{4\cdot 8\sqrt{5}} =\frac{9\sqrt{5}}{5}\ \text{см}. $$

В прямоугольном треугольнике $$ASO$$:

$$ SO=\sqrt{AS^2-AO^2} =\sqrt{9^2-\left(\frac{9\sqrt{5}}{5}\right)^2} =\sqrt{81-\frac{405}{25}} =\frac{18\sqrt{5}}{5}\ \text{см}. $$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$ V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO =\frac{1}{3}\cdot 8\sqrt{5}\cdot \frac{18\sqrt{5}}{5} =48\ \text{см}^3. $$