Упр.40 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами $$6\ \text{см}$$, $$6\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Все боковые ребра равны $$9\ \text{см}$$. Найдите объем пирамиды.

Проведём перпендикуляр $$SO$$ к основанию пирамиды. Тогда точка $$O$$ — центр окружности, описанной около $$\triangle ABC$$, и $$AO=R$$.

Найдём площадь основания по формуле Герона. Для треугольника со сторонами $$6$$ см, $$6$$ см и $$8$$ см полупериметр равен

$$p=\frac{6+6+8}{2}=10.$$

Тогда

$$S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-6)(p-6)(p-8)} =\sqrt{10\cdot 4\cdot 4\cdot 2} =8\sqrt{5}\ \text{см}^2.$$

Найдём радиус описанной окружности:

$$AO=R=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4S_{\triangle ABC}} =\frac{6\cdot 6\cdot 8}{4\cdot 8\sqrt{5}} =\frac{9\sqrt{5}}{5}\ \text{см}.$$

Так как все боковые рёбра пирамиды равны $$9$$ см, то в прямоугольном треугольнике $$\triangle ASO$$ имеем

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2} =\sqrt{9^2-\left(\frac{9\sqrt{5}}{5}\right)^2} =\sqrt{81-\frac{405}{25}} =\frac{18\sqrt{5}}{5}\ \text{см}.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SO =\frac{1}{3}\cdot 8\sqrt{5}\cdot \frac{18\sqrt{5}}{5} =48\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$48\ \text{см}^3$$.