Упр.40 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.

Подробный ответ

Пусть $$A, B, C$$ — точки касания шара со сторонами треугольника. Опустим из центра шара $$O$$ перпендикуляр $$OO_1$$ на плоскость треугольника. Тогда точка $$O_1$$ — центр окружности, вписанной в треугольник.

Найдём радиус вписанной окружности треугольника со сторонами $$13$$ см, $$14$$ см и $$15$$ см.

Полупериметр:

$$p=\frac{13+14+15}{2}=21.$$

Площадь треугольника по формуле Герона:

$$ S=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)} =\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84. $$

Так как $$S=pr$$, то радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ имеем:

$$OO_1=\sqrt{OA^2-O_1A^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\text{ см}.$$

Следовательно, расстояние от плоскости треугольника до центра шара равно $$3$$ см.