Упр.40 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных.

Подробный ответ

Опустим из точки $$D$$ перпендикуляр $$DA$$ к плоскости $$\alpha$$. Тогда $$DA=a$$, а отрезки $$AB$$ и $$AC$$ — проекции наклонных $$DB$$ и $$DC$$ на плоскость $$\alpha$$. Поэтому $$\angle BAC=120^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$DAB$$ и $$DAC$$. Так как наклонные образуют с плоскостью угол $$30^\circ$$, то

$$\tan 30^\circ=\frac{DA}{AB}, \qquad \tan 30^\circ=\frac{DA}{AC}.$$

Отсюда

$$AB=AC=\frac{DA}{\tan 30^\circ}=\frac{a}{1/\sqrt{3}}=a\sqrt{3}.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный. Обозначим через $$K$$ середину отрезка $$BC$$. Тогда $$AK$$ — медиана и высота, значит $$BK=\frac{BC}{2}$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABK$$ имеем $$\angle BAK=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ$$, поэтому

$$BK=AB\cos 60^\circ=a\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$BC=2BK=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$$