Упр.40 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние $$a$$, проведены две наклонные под углом $$30^\circ$$ к плоскости, причём их проекции образуют угол $$120^\circ$$. Найдите расстояние между концами наклонных.

Опустим из точки $$D$$ перпендикуляр $$DA$$ к плоскости. Тогда $$DA=a$$, а отрезки $$AB$$ и $$AC$$ — проекции наклонных $$DB$$ и $$DC$$ на плоскость. Поэтому $$\angle BAC=120^\circ$$.

В прямоугольных треугольниках $$DAB$$ и $$DAC$$ имеем:

$$\tan 30^\circ=\frac{DA}{AB}$$
$$AB=\frac{DA}{\tan 30^\circ}=\frac{a}{1/\sqrt{3}}=a\sqrt{3}$$
$$AC=\frac{DA}{\tan 30^\circ}=a\sqrt{3}$$

Следовательно, $$AB=AC$$, значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный. Пусть $$K$$ — середина отрезка $$BC$$. Тогда $$AK$$ — медиана и высота, поэтому $$BK=\dfrac{BC}{2}$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABK$$:

$$BK=AB\cdot \cos 30^\circ=a\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}$$

Тогда

$$BC=2BK=2\cdot \frac{3a}{2}=3a$$

Ответ: $$3a$$.