Упр.40 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии $$a$$ от противолежащей стороны. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Проведём через точки $$C$$ и $$M$$ перпендикуляры к плоскости $$\alpha$$, обозначим их основания через $$C_1$$ и $$M_1$$. Тогда $$CC_1=a$$, а отрезки $$CC_1$$ и $$MM_1$$ параллельны.

Рассмотрим треугольники $$\triangle OAD$$ и $$\triangle OCB$$. Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его диагонали пересекаются и делятся пополам, значит точка $$M$$ делит диагональ $$AC$$ пополам. Следовательно,

$$\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}.$$

Из подобия соответствующих треугольников получаем:

$$\frac{MM_1}{CC_1}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$MM_1=\frac{1}{2}\cdot CC_1=\frac{1}{2}a.$$

Итак, расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до плоскости равно

$$\frac{a}{2}$$.