Упр.4 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.

Высоты обоих цилиндров одинаковы, обозначим их через $$h.$$ Поэтому отношение объёмов равно отношению площадей оснований:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi R^2h}{\pi r^2h}=\left(\frac{R}{r}\right)^2,$$

где $$R$$ — радиус цилиндра, описанного около правильного треугольника, а $$r$$ — радиус цилиндра, вписанного в этот треугольник.

Пусть сторона правильного треугольника равна $$a.$$ Тогда для него

$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}, \qquad r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

Следовательно,

$$\frac{V_1}{V_2}=\left(\frac{a\sqrt{3}/3}{a\sqrt{3}/6}\right)^2=\left(2\right)^2=4.$$

Ответ: $$4:1$$.