Упр.4 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 4. B цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.

Высоты обоих цилиндров одинаковы и равны высоте призмы: $$h=\text{const}.$$

Объём цилиндра равен $$V=\pi r^2h,$$ поэтому отношение объёмов зависит только от отношений радиусов оснований.

Внешний цилиндр описан около правильной треугольной призмы, значит его основание — окружность, описанная около равностороннего треугольника. Внутренний цилиндр вписан в призму, значит его основание — окружность, вписанная в тот же треугольник.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $$a.$$ Тогда

$$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}, \qquad r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

Найдём отношение объёмов цилиндров:

$$ \frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi R^2h}{\pi r^2h}=\left(\frac{R}{r}\right)^2 =\left(\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}\right)^2 =\left(\frac{6}{3}\right)^2=4. $$

Следовательно, отношение объёмов внешнего и внутреннего цилиндров равно $$4:1.$$

Ответ

$$4:1$$