Упр.4 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: У трехгранного угла два плоских угла острые и равны а, a третий угол равен у. Найдите двугранные углы ф, противолежащие плоским углам а, и угол В между плоскостью у и противолежащим ребром.

Пусть ребро, противолежащее углу $$\gamma$$, проходит через точку $$S$$, а из произвольной точки $$A$$ этого ребра опустим перпендикуляр $$AK$$ на плоскость угла $$\gamma$$. Проведём также перпендикуляры $$AB$$ и $$AC$$ к двум другим рёбрам.

По теореме о трёх перпендикулярах имеем:

$$BK \perp SB,\qquad CK \perp SC.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKC$$ и $$AKB$$. У них общий катет $$AK$$, а углы при вершине $$K$$ равны двугранным углам $$\varphi$$, поэтому

$$BK=KC.$$

Тогда прямоугольные треугольники $$BKS$$ и $$CKS$$ равны по двум катетам: $$BK=KC$$ и $$KS$$ — общий. Следовательно,

$$\angle BKS=\angle CKS.$$

Значит,

$$\angle BCS=\angle KSC+\angle KSC=\gamma,$$

откуда

$$\angle KSC=\angle KCS=\frac{\gamma}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$ASC$$ получаем:

$$SC=AS\cos\alpha,\qquad AC=AS\sin\alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $$SCK$$:

$$KC=SC\cdot\tg\frac{\gamma}{2}=AS\cos\alpha\cdot\tg\frac{\gamma}{2},$$

$$SK=\frac{SC}{\cos\frac{\gamma}{2}}=\frac{AS\cos\alpha}{\cos\frac{\gamma}{2}}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$ACK$$:

$$\cos\varphi=\cos\angle ACK=\frac{KC}{AC}=\frac{AS\cos\alpha\cdot\tg\frac{\gamma}{2}}{AS\sin\alpha}=\frac{\tg\frac{\gamma}{2}}{\tg\alpha}.$$

И в прямоугольном треугольнике $$ASK$$:

$$\cos\beta=\cos\angle ASK=\frac{SK}{AS}=\frac{AS\cos\alpha}{AS\cos\frac{\gamma}{2}}=\frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\gamma}{2}}.$$

Ответ

$$\cos\varphi=\frac{\tg\frac{\gamma}{2}}{\tg\alpha},\qquad \cos\beta=\frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\gamma}{2}}.$$