Упр.4 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

У трёхгранного угла два плоских угла острые и равны $$\alpha$$, а третий угол равен $$\gamma$$. Найдите двугранные углы $$\varphi$$, противолежащие плоским углам $$\alpha$$, и угол $$\beta$$ между плоскостью $$\gamma$$ и противолежащим ребром.

Подробный ответ

Пусть из вершины трёхгранного угла на ребро, противолежащее углу $$\gamma$$, опущен перпендикуляр $$AK$$ к плоскости этого угла. Из точки $$A$$ опустим также перпендикуляры $$AB$$ и $$AC$$ на два других ребра.

По теореме о трёх перпендикулярах имеем $$BK \perp SB$$ и $$CK \perp SC$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKB$$ и $$AKC$$. У них общий катет $$AK$$, а углы при вершине $$K$$ равны двугранным углам $$\varphi$$, противолежащим плоским углам $$\alpha$$. Поэтому $$BK=KC$$.

Тогда прямоугольные треугольники $$BKS$$ и $$CKS$$ равны, откуда $$\angle BKS=\angle CKS$$. Следовательно,

$$\angle BCS=\angle KSC+\angle KSC=\gamma,$$

значит, $$\angle KSC=\angle KCS=\dfrac{\gamma}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$ASC$$ получаем

$$SC=AS\cos\alpha,\qquad AC=AS\sin\alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $$SCK$$:

$$KC=SC\tan\frac{\gamma}{2}=AS\cos\alpha\cdot\tan\frac{\gamma}{2},$$

$$SK=\frac{SC}{\cos\frac{\gamma}{2}}=\frac{AS\cos\alpha}{\cos\frac{\gamma}{2}}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$ACK$$:

$$\cos\varphi=\cos\angle ACK=\frac{KC}{AC}=\frac{AS\cos\alpha\cdot\tan\frac{\gamma}{2}}{AS\sin\alpha}=\frac{\tan\frac{\gamma}{2}}{\tan\alpha}.$$

И в прямоугольном треугольнике $$ASK$$:

$$\cos\beta=\cos\angle ASK=\frac{SK}{AS}=\frac{AS\cos\alpha/\cos\frac{\gamma}{2}}{AS}=\frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\gamma}{2}}.$$