Упр.4 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Стороны четырехугольника ABCD и прямоугольника A1B1C1D1 соответственнопараллельны. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Так как $$A_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник, то его соседние стороны попарно перпендикулярны:

$$A_1B_1 \perp B_1C_1,\quad B_1C_1 \perp C_1D_1,\quad C_1D_1 \perp D_1A_1,\quad D_1A_1 \perp A_1B_1.$$

По условию стороны четырёхугольника $$ABCD$$ соответственно параллельны сторонам прямоугольника $$A_1B_1C_1D_1$$, значит

$$AB \parallel A_1B_1,\quad BC \parallel B_1C_1,\quad CD \parallel C_1D_1,\quad DA \parallel D_1A_1.$$

Из параллельности прямых и перпендикулярности соответствующих сторон получаем:

$$AB \perp BC,\quad BC \perp CD,\quad CD \perp DA,\quad DA \perp AB.$$

Следовательно, все углы четырёхугольника $$ABCD$$ прямые. Значит, $$ABCD$$ — прямоугольник.

Ответ

$$ABCD$$ — прямоугольник.