Упр.4 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дано: a и b-пересекающиеся прямые;
Доказать: Все прямые, параллельные прямой b и пересекающие
прямую a, лежат в одной плоскости;
Доказательство:
1) Отметим произвольную точку C на прямой a;
2) Через точку C построим прямую c, параллельную прямой b,
по теореме 2.1 можно построить только единственную такую прямую;
3) Прямые a и b-пересекающиеся, значит они лежат в одной
плоскости, обозначим ее;
3) Прямая c параллельна прямой b, значит они лежат в одной
плоскости, а также прямая c пересекает прямую a, значит они
также лежат в одной плоскости, следовательно прямая c лежит
в плоскости;
4) Таким образом, все прямые, параллельные прямой b и пересекающие
прямую a, лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются. Тогда они определяют некоторую плоскость $$\alpha$$.

Возьмём на прямой $$a$$ произвольную точку $$C$$ и проведём через неё прямую $$c$$, параллельную прямой $$b$$. Такая прямая единственна.

Так как $$b \subset \alpha$$ и точка $$C \in a \subset \alpha$$, то прямая $$c$$, проходящая через точку плоскости $$\alpha$$ и параллельная прямой $$b$$, также лежит в плоскости $$\alpha$$.

Следовательно, любая прямая, параллельная $$b$$ и пересекающая $$a$$, проходит через некоторую точку прямой $$a$$ и совпадает с построенной прямой $$c$$. Значит, все такие прямые лежат в одной плоскости $$\alpha$$.

Что и требовалось доказать.