Упр.4 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой $$b$$ и пересекающие прямую $$a$$, лежат в одной плоскости.

Отметим произвольную точку $$C$$ на прямой $$a$$ и проведём через неё прямую $$c$$, параллельную прямой $$b$$. Такая прямая единственна.

Так как прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются, то они определяют некоторую плоскость $$\alpha$$.

Прямая $$c$$ пересекает прямую $$a$$ в точке $$C$$ и параллельна прямой $$b$$. Следовательно, прямые $$a$$ и $$b$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, а прямая $$c$$, имея с этой плоскостью две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$, также лежит в плоскости $$\alpha$$.

Значит, любая прямая, параллельная $$b$$ и пересекающая $$a$$, проходит через некоторую точку прямой $$a$$ и совпадает по построению с прямой вида $$c$$. Поэтому все такие прямые лежат в одной плоскости $$\alpha$$.

Ответ: все прямые, параллельные прямой $$b$$ и пересекающие прямую $$a$$, лежат в одной плоскости.