Упр.4 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения (рис. 10).

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$a$$, а плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ — по прямой $$b$$. По условию прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$M$$.

Тогда точка $$M$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$, так как $$M \in a \subset \alpha$$, и плоскости $$\gamma$$, так как $$M \in b \subset \gamma$$. Значит, плоскости $$\alpha$$ и $$\gamma$$ имеют общую точку $$M$$.

По аксиоме стереометрии о пересечении двух плоскостей их линия пересечения проходит через любую общую точку этих плоскостей. Следовательно, прямая пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\gamma$$ проходит через точку $$M$$.

Что и требовалось доказать.