Упр.39 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

7-39. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами $$9\ \text{м}$$ и $$12\ \text{м}$$, все боковые рёбра равны $$12{,}5\ \text{м}$$. Найдите объём пирамиды.

Подробный ответ

Проведём высоту $$SO$$ пирамиды к основанию. Так как все боковые рёбра равны, то точка $$O$$ — центр описанной окружности около прямоугольника $$ABCD$$, то есть середина его диагоналей.

Найдём диагональ основания:

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$$

Тогда

$$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{15}{2}=7{,}5$$

В прямоугольном треугольнике $$ASO$$:

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{12{,}5^2-7{,}5^2}=\sqrt{156{,}25-56{,}25}=\sqrt{100}=10$$

Площадь основания пирамиды:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=12\cdot 9=108$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 108\cdot 10=360$$

Ответ: $$360\ \text{м}^3$$