Упр.39 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 4-39. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние $$a$$, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы $$45^\circ$$ и между собой угол $$60^\circ$$. Найдите расстояние между концами наклонных.

Опустим из точки $$D$$ перпендикуляр $$DA$$ к плоскости. Тогда $$DA=a$$, а отрезки $$AB$$ и $$AC$$ — проекции наклонных $$DB$$ и $$DC$$ на плоскость.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$DAB$$ и $$DAC$$. Так как наклонные образуют с плоскостью угол $$45^\circ$$, то

$$DB=\frac{DA}{\sin 45^\circ}=\frac{a}{\frac{\sqrt2}{2}}=a\sqrt2,$$

и аналогично

$$DC=a\sqrt2.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$DBC$$. По условию $$\angle BDC=60^\circ$$ и $$DB=DC$$, значит треугольник $$DBC$$ равнобедренный с углом при вершине $$60^\circ$$, следовательно, он равносторонний. Поэтому

$$BC=DB=DC=a\sqrt2.$$

Ответ: $$a\sqrt2$$.