Упр.39 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° а между собой угол 60°. Найдите расстояние между концами наклонных.

Подробный ответ

Опустим из точки $$D$$ перпендикуляр $$DA$$ к плоскости. Тогда $$DA=a$$, а точки $$B$$ и $$C$$ — основания наклонных $$DB$$ и $$DC$$ на плоскости.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$DAB$$ и $$DAC$$. Так как наклонные образуют с плоскостью угол $$45^\circ$$, то

$$\sin 45^\circ=\frac{DA}{DB}=\frac{a}{DB}, \qquad \sin 45^\circ=\frac{DA}{DC}=\frac{a}{DC}.$$

Отсюда

$$DB=DC=\frac{a}{\sin 45^\circ}=a\sqrt{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$DBC$$. По условию $$\angle BDC=60^\circ$$ и $$DB=DC$$, значит треугольник $$DBC$$ равнобедренный с вершиной при $$D$$. Найдём основание по теореме косинусов:

$$BC^2=DB^2+DC^2-2\cdot DB\cdot DC\cos 60^\circ.$$

Подставим найденные значения:

$$BC^2=(a\sqrt{2})^2+(a\sqrt{2})^2-2\cdot a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}$$

$$BC^2=2a^2+2a^2-2a^2=2a^2.$$

Следовательно,

$$BC=a\sqrt{2}.$$