Упр.39 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через основание трапеции проведена плоскость, отстоящая от другого основания на расстояние $$a$$. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости, если основания трапеции относятся как $$m:n$$ (рис. 64).

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей трапеции $$ABCD$$, а $$B_1$$ и $$O_1$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $$B$$ и $$O$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$BB_1=a$$, а искомое расстояние равно $$OO_1$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то треугольники $$\triangle AOD$$ и $$\triangle COB$$ подобны: углы $$\angle AOD$$ и $$\angle BOC$$ — вертикальные, а углы при параллельных прямых равны. Поэтому

$$\frac{OD}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{m}{n}.$$

Из подобия треугольников $$\triangle DOO_1$$ и $$\triangle DBB_1$$ получаем

$$\frac{OO_1}{BB_1}=\frac{OD}{BD}.$$

Но

$$BD=OD+OB,$$

а значит

$$\frac{OD}{BD}=\frac{m}{m+n}.$$

Тогда

$$OO_1=BB_1\cdot \frac{m}{m+n}=a\cdot \frac{m}{m+n}=\frac{am}{m+n}.$$

Ответ: $$\frac{am}{m+n}$$.