Упр.39 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 39. Через основание трапеции проведена плоскость, отстоящая от другого основания на расстояние а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости, если основания трапеции относятся как m : n (рис. 64).

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Обозначим через $$B_1$$ и $$O_1$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$B$$ и $$O$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$BB_1 \perp \alpha$$, $$OO_1 \perp \alpha$$ и $$BB_1=a$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то треугольники $$\triangle OAD$$ и $$\triangle OCB$$ подобны: углы $$\angle AOD$$ и $$\angle BOC$$ — вертикальные, а углы при основаниях равны как накрест лежащие. Поэтому

$$\frac{OD}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{m}{n}.$$

Рассмотрим треугольник $$BB_1D$$. Прямые $$BB_1$$ и $$OO_1$$ лежат в одной плоскости $$BB_1DO_1$$ и параллельны, значит, треугольники $$\triangle DOO_1$$ и $$\triangle DBB_1$$ подобны. Тогда

$$\frac{OO_1}{BB_1}=\frac{OD}{BD}.$$

Из подобия $$\triangle OAD$$ и $$\triangle OCB$$ получаем, что

$$\frac{OD}{BD}=\frac{OD}{OD+OB}=\frac{m}{m+n}.$$

Следовательно,

$$OO_1=BB_1\cdot \frac{m}{m+n}=a\cdot \frac{m}{m+n}=\frac{am}{m+n}.$$