Упр.38 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

38. Докажите, что если из точки $$S$$, расположенной вне данной окружности, проведено несколько секущих, то произведение отрезков любой из этих секущих с концом в точке $$S$$ одинаково для всех секущих.

Проведём касательную $$SA$$ и секущие $$A_1B_1$$, $$A_2B_2$$, проходящие через точку $$S$$.

По теореме о касательной и секущей произведение отрезков любой секущей, проведённой из одной точки вне окружности, равно квадрату касательной:

$$SA^2=SA_1\cdot A_1B_1=SA_2\cdot A_2B_2.$$

Так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то длина $$SA$$ одна и та же для всех таких построений. Следовательно, величина $$SA^2$$ постоянна, а значит, произведение отрезков любой секущей с концом в точке $$S$$ одинаково для всех секущих.

Что и требовалось доказать.