Упр.38 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дано: Точка S-лежит ввне данной окружности;
Доказать: Произведение отрезков секущих, проведенных через
точку S, одинаково для всех из них;
Доказательство:
1) Проведем касательную SA и секущие A_1 B_1, A_2 B_2, проходящие
через точку S;
2) По теореме 9.12 произведение отрезков секущих равно квадрату
отрезка касательной: SA^2=SA_1•A_1 B_1=SA_2•A_2 B_2
3) Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки равны,
то SA=const, следовательно, произведение отрезков секущих,
проведенных через точку S, одинаково для всех из них, что и
требовалось доказать.

Проведём из точки $$S$$ касательную $$SA$$ к окружности и две секущие $$SA_1B_1$$ и $$SA_2B_2$$.

По теореме о касательной и секущей произведение отрезков любой секущей, проведённой из одной точки вне окружности, равно квадрату длины касательной:

$$SA^2=SA_1\cdot A_1B_1=SA_2\cdot A_2B_2.$$

Так как из одной точки к окружности можно провести только равные касательные, то длина $$SA$$ для данной точки $$S$$ постоянна. Следовательно,

$$SA_1\cdot A_1B_1=SA_2\cdot A_2B_2.$$

Значит, произведение отрезков любой секущей, проведённой через точку $$S$$, одинаково для всех таких секущих, что и требовалось доказать.