Упр.38 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: По. ребру а октаэдра найдите его объем.

Октаэдр можно рассматривать как две равные правильные пирамиды с общим основанием $$ABCD$$ — квадратом.

Площадь основания равна

$$S_{ABCD}=a^2.$$

Проведём перпендикуляр $$SO$$ к основанию. Точка $$O$$ — центр квадрата, то есть центр описанной около него окружности. Тогда

$$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ASO$$ имеем

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Теперь найдём объём октаэдра как сумму объёмов двух равных пирамид:

$$V=2\cdot \frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=2\cdot \frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}.$$

Ответ

$$\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$$