Упр.38 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных.

Подробный ответ

Опустим из точки $$D$$ перпендикуляр $$DA$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$DA=a$$, а отрезки $$AB$$ и $$AC$$ — проекции наклонных $$DB$$ и $$DC$$ на плоскость $$\alpha$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$DAB$$ и $$DAC$$:

$$ DB=\frac{DA}{\sin 30^\circ}=\frac{a}{\frac12}=2a, $$
$$ DC=\frac{DA}{\sin 45^\circ}=\frac{a}{\frac{\sqrt2}{2}}=a\sqrt2. $$

Так как наклонные $$DB$$ и $$DC$$ перпендикулярны, то треугольник $$DBC$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора:

$$ BC=\sqrt{DB^2+DC^2} =\sqrt{(2a)^2+(a\sqrt2)^2} =\sqrt{4a^2+2a^2} =\sqrt{6a^2} =a\sqrt6. $$