Упр.38 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезок длиной $$1\ \text{м}$$ пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на $$0{,}5\ \text{м}$$ и $$0{,}3\ \text{м}$$. Найдите длину проекции отрезка на плоскость.

Пусть отрезок $$AB$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$O$$. Опустим перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда

$$AA_1=0{,}3\text{ м}, \qquad BB_1=0{,}5\text{ м}.$$

Через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную $$A_1B_1$$. Она пересечёт продолжение перпендикуляра $$BB_1$$ в точке $$M$$. Тогда $$AM$$ — проекция отрезка $$AB$$ на плоскость $$\alpha$$, а треугольник $$ABM$$ прямоугольный.

Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от плоскости, то

$$BM=AA_1+BB_1=0{,}3+0{,}5=0{,}8\text{ м}.$$

По теореме Пифагора:

$$AM=\sqrt{AB^2-BM^2} =\sqrt{1^2-0{,}8^2} =\sqrt{1-0{,}64} =\sqrt{0{,}36} =0{,}6\text{ м}.$$

Ответ: $$0{,}6\text{ м}$$.